Konstant remakab Pi V

What is Lorem Ipsum?

Lorem Ipsum is simply dummy text of the printing and typesetting industry. Lorem Ipsum has been the industry's standard dummy text ever since the 1500s, when an unknown printer took a galley of type and scrambled it to make a type specimen book. It has survived not only five centuries, but also the leap into electronic typesetting, remaining essentially unchanged. It was popularised in the 1960s with the release of Letraset sheets containing Lorem Ipsum passages, and more recently with desktop publishing software like Aldus PageMaker including versions of Lorem Ipsum.

Read more: Konstant remakab Pi V

Mathematik Atik #2

What is Lorem Ipsum?

Lorem Ipsum is simply dummy text of the printing and typesetting industry. Lorem Ipsum has been the industry's standard dummy text ever since the 1500s, when an unknown printer took a galley of type and scrambled it to make a type specimen book. It has survived not only five centuries, but also the leap into electronic typesetting, remaining essentially unchanged. It was popularised in the 1960s with the release of Letraset sheets containing Lorem Ipsum passages, and more recently with desktop publishing software like Aldus PageMaker including versions of Lorem Ipsum.

Read more: Mathematik Atik #2

Nonb reyèl yo

Kisa yon nonb reyèl ye ? Ki kote yo sòti ? Kòman yo kapab fabrike yo ? Kesyon sa yo se tout pwoblematik kòmansman ventyèm syèk la ki vini de aksyomatik Peano a :

Kòman a pati de nonb antye natirèl yo ,ou ka rive fabrike tout lòt nonb yo : Antye relatif yo , rasyonèl yo , epi answuit nonb reyèl yo .

Matematisyen yo rele Leopold Kronecker a te tèlman kwè ke antye natirèl yo te natirèl li te rive di bagay sa a :<< Bondye kreye antye antirèl yo, lòm li men pral fè rès yo >>

Se kòmsi nou ta di : lan kòmansman ,avan tout lòt nonb yo, se te antye natirèl yo kite kreye :

 

Ansanm antye natirèl yo : 
 

Yo note ansanm ki gen tout antye natirèl yo konsa :  

 

 

 se ansanm tout antye natirèl yo sof zero .

Li tout afè otomatik , lè yo mandew enonse tout antye natirèl yo , pou w di : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ................... etc 

sa ta vle di ke 0 vin anvan tout lòt yo .Istorikman se pa vre , paske yo envante zero byen ta, zero vin aprè 1,2,3,4,6,7,9 .Ou ka al konsilte sou sit la Istwa Zero . 

Matematisyen yo rive pwopoze yon seri de metòd pou konstriksyon antye natirèl yo . Se metòd konstriksyon Van Neuman nan ki sanble ki pi senp .

Pwosesis konstriksyon sa yo pral men nen nou a yon rezònman ki trè pyisan ke yo rele rezònman rekirans .

 

Si nou konsidere 2 antye natirèl    avèk    , an nou gade ki opreasyon i toujou posib lan ansanm  nan .

Nou gen :    ,    ,    ,    (si  )

  • Li evidan ke lèw adisyone 2  antye natièl rezilta a toujou bay yon lòt antye natirèl ,sa vle di ke adisyon se operasyon ki toujou posib lan   .Nou ka ekri   .
  • Rezilta miltiplikasyon 2 antye natirèl se toujou yon lòt antye natirèl ,donk miltiplkasyon se yon oprasyon ki toujou posib lan   . Nou ka ekri   .
  • Sepandan ,rezilta soustraksyon ou byen divizyon 2 antye natirèl se pa toujou yon antye natirèl .Sa vle di ke soustraksyon avèk divizyon se 2 operasyon ki pa toujou posib lan  . Nap kalifye bagay sa a : Ensifisans ansanm  nan pa rapò a ni soustraksyon ,ni divizyon.

Ki donk ekwasyon      pa toujou gen solisyon lan ansanm   . Tankou  ,se yon ekwasyon ki pa posib lan  .Se jisteman paske soustraksyon se yon operasyon ki pa toujou posib lan  .

Ekwasyon fòm sa yo    , pa toujou gen solisyon lan ansanm   .Pa ekzanp   ,se yon ekwasyon ki pa posib lan  . Se paske miltplikasyon se yon operasyon ki pa toujou posib lan   .

 

Se ensifisans ansanm   nan  ki pral fè matematisyen yo panse ak yon lòt ansanm ,jis pou yo kapab solisyone ekwasyon fòm sa yo :    avèk   .Se pral alò kreyasyon ansanm entye relatif yo .

 

Ansanm antye relatif yo: 

 Yo rive jwenn ansanm antye relatif yo a lèd de yon simetrizasyon antye natirèl yo pa rapò avèk adisyon .Sa ki fè ke ekwassyon fòm sa yo :   pral toujou gen solisyon lan  , ki se  .

 Se sa kap fè  se yon gwoup aditif  ke li ye.

Yo note    .

 se yon ansanm ki totalman òdone.Sepandan li pèdi pwopriyete pi piti eleman ke pati ki pa vid lan  yo gen yen an.

An konklisyon nou ka di :

Adisyon , soustraksyon , miltiplikasyon  operasyon sa yo toujou posib lan  .Sepandan pwoblèm rezolisyon ekwasyon   ke nou te jwenn lan  nan ,li pa rezoud lan  non plis .Sa vle di ke divizyon se yon operasyon ki pa tojou posib lan . Nou ta ka rele sa a ensifizans ansanm antye relatif yo pa rapò a operasyon divizyon an .

Pou rezoud difikilte sa a  , matematisyen yo pral oblije kreye yon nouvè ansanm pou yo kapab solisyone ekwasyon   yo .Se pral alò nesans nonb ki rasyonèl yo .

 

Ansanm nonb rasyonèl yo :  

 Pou yo rive ak nonb rasyonèl yo , yo oblije fè yon simetrizasyon de antye relatif yo pa rapò a opreasyon miltplikasyon an .Sa ki fè ke ekwasyon  yo vin gen pou solisyon     avèk    e     .Ki donk nou vin gen definisyon sa a :

 

Yo rele nonb rasyonèl ,tout nonb ki kapab ekri kòm kosyan 2 antye relatif .

 


Tout nonb rasyonèl gen yon devlopman desimal ki ilimite e ki peryodik .Pa ekzanp :

 

  ou byen  

 

 

Remak :

Si     avèk   .Tout nonb rasyonèl sa yo  ,  , yo rele yo nonb desimal . Nap note ansanm nonb desimal yo konsa :

  

 

 se yon kò ki totalman òdone .Ou ka toujou konpare 2 nonb ki rasyonèl .Sepandan ,menm jan avèk  e  ki te gen lakin , ansanm  a gen yen lakin tou .Paske gen yen kèlke pwoblèm ke nou pral poze la a , nou pap ka rezoud yo lan  . Se pou konble lakin sa yo ki fè ke matematisyen yo pral oblije panse ak yon lòt ansanm ki pi gran ke  .

 

 Men kèt difikilte  ke nou jwenn lan   :

 

1)   pa verifye pwopryete bòn siperyè a .

Sa vle di ke nou ka jwenn lan    ,yon seri de pati ki pa vid  ki majore e ki pa gen bòn siperyè  ou byen ki minore e ki pa gen bòn inferyè .

Kòm ekzanp nou ka pran ansanm sa a    , ki se yon pati lan ansanm   a .

Li evidan ke   paske pa ekzanp     piske    .

Epi tou   nap gen      .ki donk nou ka di  ke  se yon pati lan ansanm   a  ke 2 majore ,paske   nap gen   .

Kounye la èske   gen yon bòn siperyè     ki se pi piti lan tout majoran li yo .Pou sa , an nou sipoze ke   .

Sa vle di ke    avèk     e        2 antye ki premye ant yo .

 

ki donk        

 

ki vin bay        ,sa enplike ke   

 

 Alò   vin ka ekri konsa    ki enplike ke    ou byen ankò     , donk   sa enplike ke        .

 

Kòm konklizyon nou vin jwenn :    avèk    .Donk ki kontredi ipotèz ke   avèk  yo premye ant yo menm nan.

Ki donk  l

Donk  ansanm    a pa verifye pwopryete bòn siperyè a.

 

Kòm konsekans  nap gen :    ekwasyon    pa tojou gen solisyon lan ansanm   a .

Pa ekzanp si nou fè   nap gen    .Li pa ekziste ankenn nonb rasyonèl   ki ka verifye    .Se ekzateman  demonstrasyon an lè a , pou nou te montre ke   .

 

 2) Men yon lòt gwo lakin ki gen lan   .Li konsène swit Cauchy nonb rasyonèl yo .

Gen yon seri de swit Lan swit Cauchy yo ki se swit nonb rasyonèl alòske yo pa konvèje lan yon nonb ki rasyonèl .Sa vle di ke lèw kalkile limit yo ,li pa toujou bay yon nonb ki rasyonèl .

Tankou swit sa a    ,lèw devlope li wap jwenn sòm de nonb ki rasyonèl .Sepandan li konvèje lan nonb Euler la ki se       . Nonb sa a  se baz logaritm Nepeyen an  e li defini kòm yon sòm enfini :  Alòs ke nou ka demontre ke    . Demonstrasyon

Swit sa a :    se yon suit de nonb rasyonèl ke li ye ,sepandan li pa konvèje lan yon nonb ki rasyonèl , li konvèje lan  ki pa yon nonb rasyonèl. Demonstrasyon .

 

Se tout lakin sa  yo  ki lan  ki montre ke gen yon seri de nonb an matematik ki pa rasyonèl .Tankou :

nonb pi a    

Tout rasin kare sa yo     avèk   yon antye ki pa yon kare.

Se dezyèm lakin sa a  ki pral men nen nou a nosyon ke yo rele swit konvèjant lan .

 
Lakin sa yo pral oblije matematicien yo panse a yon ansanm ki pi gran ke     kote lap posede pwopryete bòn siperyè a epi tout swit Cauchy yo ap toujou konvèje lan ansanm sa a .Se ansanm tout nonb reyèl yo.
 
 
Ansanm nonb ki reyèl yo :
 
Nonb reyèl yo pral pèmèt nou rezoud 2 gwo  difikilte sa yo ki lan ansanm  a .
 
Dabò sa ki konsène ansanm ki bòne e ki enkli lan  yo kote  ni bòn enferyè ,ni bòn siperyè yo pa lan  .Nou pral ajoute bòn enferyè sa yo avèk bòn siperyè sa yo lan ansanm  la.
 
Epi yon lòt kote  yo pral rezoud pwoblèm swit Cauchy yo , tout swit Cauchy yo ki se swit nonb rasyonèl ou byen nonb reyèl depi ke yo konvèjan donk yo pral konvèje  lan  .
 
Sa ki fè ke nou pral abouti ak 2 apwòch konstriksyon pou ansanm  la :
 
Apwòch konstriksyon ki fè avèk yon seri de koupi sa vle di ki fèt pa tranch ki se apwòch  Richard Dedeking nan e yon lòt kote apwòch konstriksyon ki fèt avèk swit Cauchy yo .
 
Tou lè 2 ap abouti ak menm antite a, ki se ansanm nonb reyèl yo  .Tout pwoblèm ke nou te rankontre depi lan  pou rive lan  yo , tout pral posibl lan  . tankou :
 
Ekwasyon  ap toujou posib lan  , ekwasyon  ap toujou posib lan  , ekwasyon    ap toujou posib lan  .