Rasin kare chif 2 a

Ki premye fwa yo rankontre  rasin kare chif 2 a  lan Matematik ? Ta sanble ke pi ansyen tras konsèp sa a , li ta remonte byen loin lan sivilizasyon babilonyen yo.Men se ansyen grèk yo  ki te rive demontre ke rasin kare chif 2 a se yon nonb irasyonè ke li ye ,yon bagay ke grèk yo pat janm admèt .Ansyen grèk yo te eksprime li a pati de grandè ki enkòmansirab.

 Sa se yon ti tablèt ke yo te jwenn an Irak ,yon pati lan Ansyen espas yo te rele Mezopotami an  .Sou ti tablèt sa a ou ka wè gen de liy ki trase , epi gen mak ki grave sou li tou.

Se yon  tablèt ki lan Invèsite ke yo rele Yale la , lan peyi Etazini .Se poutèt sa yo rele li :YBC 7289 (Yale Babylonian Collection) .Gen yen 4000 an istwa ki separe nou avèk tablèt sa a .Bagay sa yo ki ekri sou tablèt la , tankou nou wè gen sis liy avèk kèlke mak ki grave sou li , se pwobaleman travay yon eskrib babilonyen.

Men , fòk nou di ke ,ansyen yo pa kon nen ekspresyon ke nou rele jodi a rasin kare chif 2 a, ke nou note konsa a :  .

Senbòl radikal la ki se √ ,premye fwa li parèt lan matematik se lan yon liv ki ekri an 1525 pa matematisyen alman ke yo rele Christoff Rudoff.Selon anpil istoryen ,senbòl sa a √ sòti a pati defòmasyon  lèt r la ,ki se inisyal mo radix ki vle di rasin an latin. Yo kwè ke Rudoff jis pran r la ,li defòme li ,ki vin bali √ .

 

Entèpretasyon tablèt YBC 7289 la . 

Nou vle di ekzakteman  Ki siyifisayon bagay sa yo ki grave sou tablèt la ? Eskrib la  te li fè selon sistèm nimerasyon Babilonyen yo :

 

 sa ke nou tradi lan nimrasyon pa nou jodi a ki se nimerasyon desimal la  :

  

 

Se yon kare ke li trase .30 lan se longè kote kare a , epi 42,4263889 la se longè dyagonal kare a .Epi 1,4142196 li menm , se faktè miltplikatif ke li aplike sou kote kare a pou li ka jwenn longè dyagonal la : 

 

 

Donk lan yon sans ki pi klè selon tablèt YBC 7289 la : Si yon kare gen pou kote 30 ,ebyen pou jwenn longè dyagonal la fòk ou miltiplye 30 pa valè sa a 1,41421296.

Li evidan ke valè sa a 1,41421296, ke Babilonyaen mete an evidans lan , se yon konstant ki inivèsèl.Sa vle di ke se konstant sa a ke'w dwe itilize pou jwenn dyagonal nenpòt ki kare ke ou kon nen longè kote li .

Valè sa a : 1,41421296 ki sou tablèt la ,se li menm ke nou rele jodia rasin kare chif 2 a .Men ki pa rasin kare chif 2 a ekzakteman , se pito yon valè apwoche de rasin kare chif 2 a .

Sanble te gen yon evalyasyon yo te konn itilize anvan ki   te 1,4167, kidonk se yon presizyon ki lan lòd milyèm.Sepandan presizyon pa tablèt la  li menm li lòd milyonyèm ,sa vle di ke se li ki pi pwòch de rasine chif 2 a .

Eskrib baiblonyen an te kon nen lòske ou gen yon kare kew kon nen longè li . Pou jwenn longè dyagonal la , fòk ou miltiplye longè kote a pa valè sa a : 1,41421296 .

Kòman eskrib la te fè kon nen ke se pa rasin kare chif 2 a pou li miltiplye kote kare a pou li ka jwenn longè dyagoanl la  ? Sa se yon kesyon nou ta renmen reponn . 

Ki plis ankò valè ke eskrib la bay pou rasin kare chif 2 li ekzat a 6 chif aprè vigil la , men chif 9 la pa ekzat se a koz de pasaj baz 60 lan a baz 10 la  .Tout desimal ki vin avan chif 9 la yo ekzat. 

Ki donk li itilise rasin karee chif 2 a ,ak yon presizyon ki se  10 pisans -6 prè  .Kòman li fè gen prsizyon sa a ? Yon epòk , kote pat menm gen kalkilatris , ni òdinatè , ni papye .Epi nou pa jwenn ankenn tablèt ki mansyone metòd ou algoritm ki pèmèt yo kalkile rasin chif 2 a ak yon presizyon konsa .

Ak kisa sa te sèvi babilonyen yo pou yo te itilize rasin kare chif 2 a  avèk 6 chif aprè vigil la  ? Nou pa kon nen kòman yo te fè pou montre ke rasin kare chif 2 a se rapò dyagonal kare a sou kote kare a  . Bagay sa pa parèt sou ankenn lòt tablèt lan Babilòn.

 

 

 

Sepandan pi ansyen mansyon  rezlta sa a li date katryèm syèk avan Jezi Kri , anviron yon milenè edmi aprè tablèt la .Nou li jwenn lan yon dyalòg filozofik ke Platon ap rakonte .Dyalòg sa  a mete an sèn Sokrat kap diskite avèk yon esklav.Diskisyon an te fèt sou pwoblèm ki se diplikatris de yon kare .

Yo ba wou yon kare .Kòman wap fè pouw konstri yon lòt kare a pati de kare ke yo bawou a ,ki 2 fwa pli gran ke kare ke yo te bawou a .Men 2 fwa pli gran lan sans lè kare a ,se pa lan san grandè li . Se bagay sa ke nou rele pwoblèm diplikatris de yon kare.

 

Esklav reponn , lap pran yon lot ki 2 fwa pi long e 2 fwa pi laj .Sa a se pa ditou solisyon an .Donk Sokrat pral pwopoze vrè solisyon an .Sokrat pral di esklav la :

Trase dyagonal (koulè rouj)  la epi konstri kare a sou dyagonal la .Donk kare rouj la 2 fwa pi gran ke kare nwa a :

  

 

 Pou demontre li .jist konplete figi anlè a konsa :

 

Gwo kare nwa a gen 8 tryang ki egal , kare rouj la gen 4 lan 8 tryang yo  e ti kare vèt la gen sèlman 2  .Donk kare rouj la gen 2 fwa plis tryang ke kare vèt la .Sa vle di ke li 2 fwa pi gran ke kare vèt la .

Ki lyen pwoblèm Sokrat la gen avèk rasin kare chif 2 a ?

 Si nou deziye pa a ,longè kote ti kare vèt la  e pa b longè dyagonal li .Si  nou deziye pa    lè li ,ki se mezi sifas ti kare vèt la , alò  nap gen yen :

 

Piske lè yon kare se kote × kote.

Si nou deziye pa  lè kare rouj la . Kòm li 2 fwa pi gran ke ti kare vèt la ,pa konsekan :

 

Men nou kon nen tou ke longè kare rouj la se , donk    .Pa konsekan nap vin gen :

  .

Rezilta sa a vle di :

Sa vle di ke lè wou double yon kare  ebyen diagonal li vin    fwa pi gran ke kote li 

 

Konyea si kote kare ke ou double a se 1  : a=1  alò  lè kare rouje ap vin egal ak 2 epi kote li ap :

Sa vle di ke longè  kote  kare rouj la ,ke nou konstri a pati de dyagonal ti kare vèt la , ap toujou egal a rasin kare chif 2 a depi ke longè kote ti kare vèt la egal a 1. 

Yon lòt jan ou ka di li se :

 

Depi ke yon kare mezi sifas se 2 ,ki se lè li , longè kote li ap egal a   .

 

An jenral pou wou pase de yon figi(1) a yon lòt figi(2) doub sètadi kote lè li 2 fwa pi gran ke lè figi(1) an , nonb rasin kare chif 2 a  li enplike souvan lan bagay sa a .

Tankou pou w double yon sèk , wap jis alonje reyon  an de yon faktè ki se    .

 

Kòman babilonyen yo te fè jwenn rasin kare chif 2 a  avèk 6 chif aprè vigil la ?

Lan ka sa a nou pi byen anseye , paske nou gen de tablèt babiblonyen ki endike kòman yo fè ekstraksyon yon rasin kare .Yo te gen yon metòd ke nou ta ka chematize konsa , menm si se pa konsa ekzakteman yo ta fè li : 

yo pati avèk yon rektang ki gen pou kote 1 e 2  .Sa vle di ke lè li egal a 2 .

 

 

Metòd la  se modifye longè avèk lajè rektang lan detèlsòt ke lè li tojou egal a 2 , answit degaje wou kon mèt Jan jak pou ke rektang lan kapab sanble  depli zan plis avèk yon kare .

Donk lespri algoritm sè ke si wou gen yon rektang ki trè pwòch de yon kare kote lè li egal a 2 ,ebyen kote li yo ap apwoche yo de  .

Kijan rektang ble sa a kapab pi pwòch de yon kare , pou sa nap pran yon valè ki konpri ant 1 e 2  .Pa ekzanp nou ka pran pou longè :

 

Kòm lè nouvo rektanglan  dwe toujou egal a 2 eke  lè yon rektang se longè×lajè , donk    sa ki fè ke nou ka jwenn lajè nouvo rektang lan : 

  

Ki donk nouvo rektang lan vin konsa:

Nou pral repete menm pwosesis avèk nouvo rektang lan :

Nap pran mwayèn 2 kote yo pou youn lan kote dezyèm rektang ke nap chèche a  : 

 

 

Epi dezyèm kote a se  ap :

 

 

Lè nou repete pwosesis la  nap vin jwenn rektan sa a:

Pou etap 4 la dimansyon rektang nap jwenn nan se :

Nou ka verifye ke longè kote rektang yo rapwoche yo de plizan pli de      . Pa ekzanp :

 

     

 

Pou etap 5 lan nap jwenn  :

 

 

Nou ka kontinye aplike algoritm jiskaske nou jwenn yon meyè apwoximasyon de  . Se yon algoritm ki senp epi li gen anpil avantaj . Se yon algoritm ki ale vit , lan 2 etap sèlman nou gen tan wè ke rektang yo sanble avèk  yon kare .Lè sa yo di ke konvèjans lan li kwadratik.Epi se yon konvèjans ki otokorektè , sa vle di ke menm si ou ta fè yon erè lan yon etap ou ka toujou korije li lan etap swivan an .

Se yon algoritm ki tèlman efikas , se toujou li menm ke yo kontinye itilize jodi a : Lan kalkilatris , lan òdinatè se algoritm sa a ki kache dèyè kap fè travay sa a , chak fwa ou mande yo kalkile yon rasin kare.

  se yon nonb ki irasyonèl 

Na pral fè yon demonstrasyon kote nap sipoze kontrè pwopozisyon an .Ki vle di ke nap sipoze ke     se yon nonb rasyonèl ke li ye.

Lan ka sa a nap poze :

 

avèk p/q yon fraksyon ki irediktib ,ki vle di ke p e q se 2 antye ki premye ant yo . ki fè ke nap vin gen :

Donk

  

Sa ki fè ke :

Donk

Sa ki fè ke an definitif :

Donk nou abouti a yon kontradisyon ,paske nou jwenn rapò :

se yon rapò ki rediktib ,le fèt ke nou ka senplifye pa 2 .

Konklizyon :  

 se yon nonb ki irasyonèl.

 

Endyen APASTAMBA : Senkyèm Syèk Avan Jezi Kri 

Senkyèm syèk avan Jezi  matematisyen endyen an Apastamba te bay yon evalyasyon de rasin kare chif 2 a konsa :

 

pa gen ankenn sètitid sou fason ke Apastamba te jwenn rezilta sa a .