Ti Istwa nonb an no a

 

 

Nonb an nò a ki sa li ye ? Ki kote li sòti ? Kòman yo fè tombe sou yon nonb konsa ? An tou ka , nou pa gen vrèman yon preystwa pou nonb sa a . Donk sa nou pral rakonte la a sou nonb an nò a , tankou se ta preystwa li , se pral yon latrye konstriksyon avèk konjekti ke yo ye.

Konstirksyon sa yo avèk konjekti sa yo ,se  a pati de yon figi jeometrik ke nou pral mete yo sou pye.Figi jeometrk sa a,  yo rele li pentagòn ,men ki regilye  .

 Pentagòn nan nou jwen ni prèske tout kote lan lanati, men li pa toujou tonbe sou zye nou .Kòm ekzanp , sa pa rive souvan  ke lè nap koupe yon pòm ,pou nou koupe li an travè.Jisteman si ou koupe yon pòm an travè, wap jwenn yon bèl pentagòn etwale :

 

  Gen yen tou yon latrye animal ki prezante yo sou yon plan pentagonal :

  

   Nou jwen tou , yon ban'n flè ki gen 5 petal :

     

  Gen lòt bagay ki mwen natirèl ki sou fòm pentagonal tou ,tankou gwo edifis ke yo rele pentagòn lan peyi etazini an:

 

  Pentagòn regilye a   prezante sou 2 fòm ,e deja se yon avantaj pa rapó a yon seri de lòt figi jeometrik. Ou gen dabò pentagòn regilye Konvèks la :

 

Ou gen yen epi pentagòn regilye etwale a, yo rele li tou pentagram :

 Epi ou ka gen tou lè 2 ansanm ,ni sa ki konvèks la avèk ni sa ki etwale a , lan yon sèl reprezantasyon ,kote pentagram nan enskri lan pentagòn regilye ki konvèks la :

 

Pou grèk ansyen yo , nonb yo se te rapò ant  longè kote figi jeometrik yo  ke yo te ye .Lè yo te mezire yon longè pa yon nonb , se konpare yo te konpare longè a avèk yon lòt longè pou baz, ke yo te rele  mezi .Pa ekzanp , si ou di ke yon ba gay mezire 34m , sa vle di se 34 fwa pi gran ke yon longè 1m(baz la ).Epòk sa a ,sèl sa yo te kon nen , se te antye epi fraksyon, e yo te kwè ke tout longè te kòmansirab , ki vle di yo te gen yon mezi ki komen.Ki donk nou sipoze ke se pwoblem sa a ki te poze .

 

Lan pentagòn sa a  : 

 

Nou gen dyagonal la ki gen pou longè D, epi li gen pou kote ki gen pou longè  C . Ki donk li ekziste yon pi piti nonb m , ki se  yon mezi ki komen avèk  ni kote C a,  ni dyagonal D a  .Alò ou ka jwen yon antye p avèk yon antye q ki fè nou vin gen yen :

 

D=mp  e  C =mq

Se ke nou ka ekri konsa jodya :

 

Kòm se te de moun ki te sansib pou fraksyon , e byen yo te pral chèche jwenn ki fraksyon 

      

ki repezante rapò sa a ki se 

 

 .

Sepandan Yo tal pral abouti avèk  enposibilite sa a : Li emposib pou dyagonal avèk kote yon pentagòn regilye yo kòmansirab ,ki donk ou pakapab eksprime yo ansanm an nonb ki antye.Sa vle di ekzateman ke yo enkòmansirab .

Sa vle di tou , ke li emposib pou'w jwenn 2 antye , p  avèk  q ,  ki ta fè ke   

   .

Ki donk  nou vin gen yon premye  definisyon avèk yon premye teyorèm ,  ki sòti lan pwoblèm ke nou sot poze a :

   

Definisyon(1): Sa yo rele nonb an nò a , se rapò ant longè dyagonal  e longè kote yon pentagòn ki regilye.

 Yo note li  .Ki donk     

 

 

 

Nou vin ka jwenn valè nonb sa a pati yon konstriksyon ki fèt sou 2 pentagòn ki regilye .

Nou pral konstri dabò yon ti pentagòn ki gen pou kote c=1  e pou dyagonal d=φ , epi yon gwo pentagòn ki li menm gen pou kote C=φ e pou dyagonal D.

 

Ti pentagòn nan li kolore an nwa e dyagonal li  kolore an rouj . Gwo pentagòn nan li kolore an rouj e dyagonal li kolore en ble sou figi sa a :  

 

 


Donk daprè figi ki an lè a  nap gen yen : 

 

Ki donk

 

  

 

Kòm ti pentagòn nan gen pou kote li yo  ki mezire 1 , e gwo a li menm gen pou kote li yo  ki mezire φ .Donk φ dwe pi gran ke 1 .Alò lè nou rezoud ekwasyon an nou jwenn :

 

Ki vin ba nou yon lòt definisyon ki ekvalan avèk definisyon(1) an :

  

Definisyon(2) : Nonb an nò a se solisyon  pozitif ekwasyon :     . 

 

Ki donk 

 

 

  

Teyorèm(1) : Nonb an nò a se yon nonb ki irasyonèl .

 

Pou nou demontre teyorèm sa a , nap sipoze ke pwoblèm ke nou te poze an lè a te vre . Tan kou φ se ta  yon nonb ki rasyonèl ,sa vle di ke lap ekziste 2 antye p avèk q ki fè ke :  

      

avèk   p   e   q  2 antye ki premy ant yo menm . 

Men sipozisyon sa a dwe men nen nou a yon kontradisyon .

 

        

Si nou poze :

 

Nap vin gen : 

 

Nou ka wè ke sèl divizè ki komen avèk  , e avèk       se 1 ou byen 2.

 

Nou gen :

 

sa vle di ke ou ka divize    pa 5 .Ki donk ou ka divize    pa 5 tou .Donk pa konsekan lap ekziste yon antye    kap fè    :

 

 

Ki donk :

 

 

Sa vle di ke ou ka divize  pa 5 .Ki donk ou ka divize  pa 5 tou .Pa konsekan lap ekziste yon antye  kap fè :

 

 

Donk kòm koklizyon nou vin gen  :

 

 

sa vle di ke 5 se yon divizè ki komen avèk     e avèk    .

 

Konklisyon sa a , li an kontadiksyon avèk ipotèk  : sèl pi gran divizè ki komen avèk  , e avèk se 1 ou byen 2 a .

Pa konsekan φ se yon nonb irasyonèl .

 

Pou ki sa Notation phi a  :

Pou kisa se lèt grèk sa a ,φ ,ki pwononse fi ,ke yo chwazi pou yo note nonb an nò a .Ebyen selon sèten otè ,se pou te onore gran eskiptè grèk ke yo rele Phidias la .Se ta Theodore Cook ki ta premye itilize li lan ane 1914.

  

Definisyon(3): Si ou gen 2 nonb reyèl a avèk b kote a>b>0 

Nonb an nò a se pwopòsyon φ kote rapò a + b  avèk a li egal a rapò  a avèk b .

 

Ki donk si   

 

 

alò    

 

sa ki ekivalan a ekwasyon    . ki fè ke φ se ekzakteman nonb ki koresponn a definisyon(2) a . Resipwòk la vre tou . 

 

Definisyon(4):

Si nou konsidere sou yon dwat ,yon segman ki gen pou ekstremite A avèk B .Epi nou chwazi yon pwen C sou segaman [A ,B] a .

 Nap di ke pwen C a  divize segman [A,B]  a  an mwayèn e an ekstrèm rezon ,se si nou chwazi li de fason ke rapò longè segman an sou pati ki pi gran an , li egal a rapò pati sa a sou sak ki pi piti a .

 

Ki donk nou ka ekri  : 

 

 

Si nou poze    :

 

Nap vin gen    

 

, ki vin ekivalan a  

 

 

Ki koresponn efektivman a ekwasyon ki lan definisyon(2) a dè ke  nou poze   :

 

Donk depi ke pwen C a  divize segman an, an mmwayèn e an ekstrèm rezon , nonb an nò  a ka defini konsa  : 

 

 

 

   

Teyorèm(2) :Tou pentagòn regilye ki gen pou kote li yo  egal a 1 ,ap gen tout dyagonal li yo ki egal a φ .

Konsidere  yon pentagòn regilye A,B,C,D,E kote  ke  (AB)=(BC)=(CD)=(DE)=(EA)=1

 

Alò nou gen pou nou demontre ke  (BD)=(BE)=(AD)=(AC)=(CE)=   .Sa a  se yon demonstrasyon ki trè senp , wap jis aplike definisyon(1) an .